Apr 6, 2015

從兩個女孩的機率問題看國高中與大學教育的銜接落差

國中有一道機率的問題,我覺得值得我們聊聊,因為我們可以從這問題看到我們國高中教育與大學教育的銜接落差。而這主要是題目出得不好,是老師的問題。但就這麼一個簡單的出題的缺失,會造成非常多學生絞盡腦汁,花費且浪費非常多的時間,甚至錯失一個理解非常基本觀念的機會,你說這值不值得討論一下?



原題目在這裡

題目是:甲有兩個小孩,若看到了甲其中一個小孩是女生,請問兩個小孩都是女生的機率是多少?

好,我們已經看到了一個小孩是女生了,所以題目問兩個小孩都是女生的機率,其實就是在問另一個小孩也是女生的機率是多少,那應該就是1/2摟?

這時候老師說話了。如果你列出所有可能,假設有AB兩個小孩,則所有可能為A男B男、A女B男、A男B女,A女B女。其中一個小孩是女生,所以第一種可能性去除,剩下三種可能性,而三種可能性之中只有一種是兩個女生,所以答案應該是1//3。

但是,我們來更仔細的審視原來的題目。


  1. 我們重新把問題問的方式改變一下,但是還是一樣的問題。假設今天我們看到其中一個小孩名子叫Emily,她是女生,那麼另一個小孩是女生的機率是多少?
  2. 假設今天有一個房間,裡面有兩個人,今天走出來一個人他告訴我們他叫emily,我們看到是女生,那請問房間裡面另一個人是女生的機率是多少?
  3. 又,再換一個方式問,假設房間裡面有兩個人,我們只知道裡面至少有一個人是女生,我們並沒有看到,那麼請問房間裡面兩個人都是女生的機率是多少?


以上所嘗試告訴大家的這個觀念其實是一個機率中非常重要的觀念,排列 與 組合。

第一題的答案是1/2,因為第一個人我們已經看到是女生,這是第一件事,第二件事第二個人是男是女我們關心的是與第一件事情無關的事,兩件事情只是照著次序先後問,這種類型的概念我們稱作排列。

第二題跟第一題一模一樣。

第三題,因為我們只知道裡面有一個是女生,但是裡面AB兩人,我們不知道誰是女生,所以確實若是把所以可能性AB男女組合起來會有四種狀況,然後去掉兩個人都是男生的情況,剩三種狀況,而只有一種兩個人都是女生,所以是1/3。這種類型的概念,稱作組合。

我們再回來看原題目,"若看到了甲其中一個小孩是女生",這其實是有點給出了排列的概念,因為我們已經看到特定的人了,然後"請問兩個小孩都是女生的機率是多少?",這就奇怪了,這其實有點隱含了組合的意味在裡面了,有點在問組合的概念,這樣就題目就有點不清楚,到底是要問排列,還是組合的問題?

如果問題是"若看到了甲其中一個小孩是女生,另一個小孩是女生的機率是多少",那答案是1/2。這是非常恰當的排列問題。

如果問題是"若知道甲至少有一個小孩是女生,那兩個小孩都是女生的機率是多少?",那答案是1/3。這樣就是非常好的組合問題。


為什麼這個在國中階段就很重要?因為在高中教到排列組合的時候,就用上了這個概念。舉個例子為什麼高中會用上這個例子。一個袋子裡面有黑白兩種球,黑白數目一樣多,拿出球看完顏色後要放回去。第一次從裡面拿出一顆白球,放回去,請問第二次是白球的機率是多少?

是1/2。是排列問題。

若是一次拿出兩顆球,請問兩顆球都是白色的機率是多少,是1/4。是組合問題。若知道拿出的兩顆球其中至少有一顆球是白色,但不知道是哪一顆,請問兩顆球都是白色的機率是多少,是1/3。也是組合問題。

所以高中的排列組合的概念從國中就開始介紹了,但是看介紹得好不好。

大學呢?從排列組合出發的應用性呢,那更多了。熱力學中的氣體分子動力論,分子的可分辨性與不可分辨姓,都是排列組合的原理。統計力學所用到的機率論也是以排列組合為其重要根基。

所以若是能在國中階段就將此觀念介紹清楚,那真的事會對未來事半功倍,而且從題目上的設計就很重要,若是題目設計得不好,那麼真的會事倍功半,這樣事半功倍與事倍功半的差距,可是四倍的差距阿。

並且,如果考試中只有一題是這樣也就算了。要是所有題目有八成的題目都是這樣,那學生就很累很辛苦了,大概也根本不會想學了。

不過學生或家長也不必太緊張,學習本來就是靠從錯誤中學,本來就是要靠摔倒來學習怎麼跑步。並不是說題目設計的好,學生就一定學得會,有太多的因素在裡面了。一步一步來,有穩定的進步才比較重要。

No comments: